Последовательность чисел Фибоначчи: формула, таблица, золотое сечение

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которая начинается с цифр 0 и 1, а каждое последующее значение является суммой двух предыдущих. Последовательность Фибоначчи – это последовательность чисел, где каждое число является суммой двух предыдущих чисел, за исключением первых двух чисел, равных 0 и 1. В которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел[3]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[4].

  1. Числовые последовательности часто встречаются в природе и искусстве в виде спиралей и «золотого сечения».
  2. Отец Фибоначчи был торговцем, и они вместе отправились в Северную Африку, а также на Ближний Восток.
  3. Многочлены Фибоначчи[en] являются другим обобщением чисел Фибоначчи.
  4. В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака»[6].
  5. Например, если мы начнем с 2, 1, …, а не с 1, 1, …, мы получим последовательность, называемую числами Лукаса .

Получается, что какие бы два стартовых числа вы ни выбрали, результирующие последовательности имеют много общих свойств. Например, отношение соседних членов всегда будет сходиться к золотому сечению. Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности[9]. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования». Многочлены Фибоначчи[en] являются другим обобщением чисел Фибоначчи.

Благодаря хорошему образованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императора Фридриха II во время математических турниров. В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака»[6]. В то время в Европе о позиционной системе счисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книге Фибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы[7].

Формула Бине и золотое сечение

Книга посвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивавшими теорию чисел, как Диофант и Ферма[8]. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к 1240 году, когда ему в Пизанской республике была назначена пенсия за заслуги перед городом[5]. Книга заинтересовала императора Фридриха II и его придворных, среди которых был астролог Майкл Скот (Michael Scotus), философ Теодорус Физикус (Theodorus Physicus) и Доминикус Хиспанус (Dominicus Hispanus). Последний предложил, чтобы Леонардо пригласили ко двору в одно из посещений императором Пизы около 1225 года, где ему задавал задачи Иоанн Палермский, ещё один придворный философ Фридриха II. Некоторые из этих задач появились в последующих работах Фибоначчи[5][8].

В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения.

Задачи Фибоначчи[править править код]

Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоанн Палермский[9]. Задачи Фибоначчи, как и их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), https://fxglossary.org/ в «Алгебре» Эйлера (1768)[2]. В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «коды Фибоначчи»[42], причём основание этих кодов — иррациональное число. Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[34][35].

Первая буква его имени, φ является символом, который мы сейчас используем для золотого сечения. На одной из страниц своей книги он также исследовал схемы размножения кроликов – вот почему числа Фибоначчи были названы в его честь. Именем Фибоначчи названы улицы в Пизе (Lungarno Fibonacci) и во Флоренции (Via Fibonacci).

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр[en] в 1913[4]. Конечно, числа Фибоначчи – это не то, как кролики на самом деле живут в реальной жизни. Кролики не рождают по два детеныша мужского числа фибоначчи это и женского пола каждый месяц, и мы не учитывали, что кролики в конечном итоге умирают. Когда Фибоначчи родился в 1175 году, большинство людей в Европе все еще использовали римскую систему счисления для чисел (например, XIV или MCMLIV).

По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления[7]. Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка). То есть, начиная с двух начальных значений, каждое число равно сумме двух предшествующих. Природа также не может решить уравнения для расчета золотого сечения, но в течение миллионов лет у растений было достаточно времени, чтобы опробовать разные углы и найти самый лучший. Золотое сечение объясняет, почему числа Фибоначчи появляются в природе, в подсолнечнике и сосновой шишке, которые вы видели в начале этого раздела. Говорят, что греческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при проектировании Парфенона в Афинах.

Таблица последовательности Фибоначчи

На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения[2]. В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка[17].

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года)[2]. Эта книга состоит из 15 глав и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи.

В качестве области определения функции g может быть взята любая абелева группа (рассматриваемая как Z-модуль). «Тайная Вечеря» испанского художника Сальвадора Дали является одной из многих картин с золотым сечением. Существует важная причина, почему природе нравится последовательность Фибоначчи, вы узнаете о ней позже. Вернувшись в Италию, Фибоначчи написал книгу под названием « Liber Abaci» (на латыни «Книга расчетов»), где он впервые ввел новые арабские цифры для европейских торговцев. Они имели незамедлительный успех – мы до сих пор пользуемся этой системой. Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям.

Некоторые другие задачи[править править код]

Мы можем получить золотое сечение разделивсложивумножив два соседних числа Фибоначчи. Эта последовательность чисел называется последовательностью Фибоначчи , названной в честь итальянского математика Леонардо Фибоначчи . Мы можем определить N-генерированную последовательность Фибоначчи (где N — положительное рациональное число). Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.

Данная статья описывает различные расширения и обобщения чисел Фибоначчи. Мы также можем попытаться выбрать разные начальные точки для чисел Фибоначчи. Например, если мы начнем с 2, 1, …, а не с 1, 1, …, мы получим последовательность, называемую числами Лукаса .

Числа Фибоначчи и последовательность

Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг[7]. Последовательность Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числовые последовательности часто встречаются в природе и искусстве в виде спиралей и «золотого сечения». Самый простой способ вычислить последовательность Фибоначчи – это создать таблицу, но такой метод не применим к большим последовательностям. Например, если нужно определить 100-й член последовательности, лучше воспользоваться формулой Бине. Вы можете помнить, что отношение соседних чисел Фибоначчи становится все ближе и ближе к золотому сечению – и поэтому, если вы посчитаете количество спиралей в растении, вы часто будете находить число Фибоначчи.

Related Posts
Leave a Reply

Your email address will not be published.Required fields are marked *